Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，mcosx），$\overrightarrow$=（3，-1）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，且m=1，求2sin²x-3cos²x的值；
（2）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱，求函數(shù)f（2x）在[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量平行列出方程，解出sin²x，cos²x即可；
（2）化簡(jiǎn)f（x）解析式，根據(jù)對(duì)稱軸得出m的值，從而得出f（2x）的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算f（2x）的值域．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（3，-1）．
∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，∴sinx=-3cosx．
又sin²x+cos²x=1，
∴sin²x=$\frac{9}{10}$，cos²x=$\frac{1}{10}$．
∴2sin²x-3cos²x=2×$\frac{9}{10}$-3×$\frac{1}{10}$=$\frac{3}{2}$．
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3sinx-mcosx=$\sqrt{9+{m}^{2}}$sin（x-φ），其中tanφ=$\frac{m}{3}$．
∵函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱，
∴sin（$\frac{2π}{3}$-φ）=1或sin（$\frac{2π}{3}$-φ）=-1．
∴φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，或φ=-$\frac{5π}{6}$+2kπ．
∴m=3tanφ=$\sqrt{3}$，
①當(dāng)φ=$\frac{π}{6}$+2kπ時(shí)，f（x）=3sinx-$\sqrt{3}$cosx=2$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{6}$），
∴f（2x）=2$\sqrt{3}$（2x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（2x）在[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域?yàn)閇-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
②當(dāng)φ=-$\frac{5π}{6}$+2kπ時(shí)，f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{5π}{6}$）=2$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{3}$），
∴f（2x）=2$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{3}$]．
∴cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴f（2x）在[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域?yàn)閇-2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．