Question

18．在直角坐標系下，直線l經(jīng)過點P（-1，2），傾斜角為α，以原點為極點，x軸的正向為極軸，建立極坐標系，在此極坐標系下，曲線C：ρ=-2cosθ．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標系方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B（A，B也可能重合），求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由直線l經(jīng)過點P（-1，2），傾斜角為α，能求出直線l的參數(shù)方程，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出曲線C的直角坐標系方程．
（2）將l的參數(shù)方程代入（x+1）²+y²=1，得到根的判別式和韋達定理能求出$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值．

解答 解：（1）∵在直角坐標系下，直線l經(jīng)過點P（-1，2），傾斜角為α，
∴直線l的參數(shù)方程$l：\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$，
∵曲線C：ρ=-2cosθ，即ρ²=-2ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標系方程x²+y²=-2x，即：（x+1）²+y²=1．…5分
（2）將l的參數(shù)方程$l：\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$代入（x+1）²+y²=1，
得：（tcosα）²+（2+tsinα）²=1
整理t²+4tsinα+3=0，
$△=16{sin^2}α-12≥0⇒|{sinα}|≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}||{PB}|}}=\frac{{|{{t_1}+{t_2}}|}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{4|{sinα}|}}{3}≥\frac{2}{3}\sqrt{3}$．…10分

點評 本題考查直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標系方程的求法，考查$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標和直角坐標互化公式的合理運用．