在平面直角坐標系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點,當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.
分析:①舉一例子即可說明本命題是真命題;
②舉一反例即可說明本命題是假命題;
③假設(shè)直線l過兩個不同的整點,設(shè)直線l為y=kx,把兩整點的坐標代入直線l的方程,兩式相減得到兩整點的橫縱坐標之差的那個點也為整點且在直線l上,利用同樣的方法,得到直線l經(jīng)過無窮多個整點,得到本命題為真命題;
④根據(jù)③為真命題,把直線l的解析式y(tǒng)=kx上下平移即不能得到y(tǒng)=kx+b,所以本命題為假命題;
⑤舉一例子即可得到本命題為真命題.
解答:解:①令y=x+
1
2
,既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點,所以本命題正確;
②若k=
2
,b=
2
,則直線y=
2
x+
2
經(jīng)過(-1,0),所以本命題錯誤;
設(shè)y=kx為過原點的直線,若此直線l過不同的整點(x1,y1)和(x2,y2),
把兩點代入直線l方程得:y1=kx1,y2=kx2
兩式相減得:y1-y2=k(x1-x2),
則(x1-x2,y1-y2)也在直線y=kx上且為整點,
通過這種方法得到直線l經(jīng)過無窮多個整點,
又通過上下平移得到y(tǒng)=kx+b不一定成立.則③正確,④不正確;
⑤令直線y=
2
x恰經(jīng)過整點(0,0),所以本命題正確.
綜上,命題正確的序號有:①③⑤.
故答案為:①③⑤
點評:此題考查學生會利用舉反例的方法說明一個命題為假命題,要說明一個命題是真命題必須經(jīng)過嚴格的說理證明,以及考查學生對題中新定義的理解能力,是一道中檔題.
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2
,
2
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,且|
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|=|
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|

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2
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2
3
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