Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(

π

2

，

3π

2

)，且|

AC

|=|

BC

|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜

π

2

，且α+β=

2

3

θ，求y=2-sin²α-cos²β的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用A，B，c的坐標(biāo)根據(jù)|

AC

|=|

BC

|建立等式化簡求得tanθ的值，根據(jù)θ的范圍求得θ的值．
（2）根據(jù)（1）中θ的值求得α+β的值，把函數(shù)的解析式利用二倍角公式和兩角和公式化簡整理利用β的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）由|

AC

|=|

BC

|得（3-cosθ）²+sin²θ=cos²θ+（3-sinθ）²，
化簡得tanθ=1，
因?yàn)?span id="6666611" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">θ∈(

π

2

，

3π

2

)，
所以θ=

5π

4

．
（2）α+β=

2

3

θ=

5π

6

，y=2-

1-cos2α

2

-

1+cos2β

2

=1+

1

2

(cos2α-cos2β)
=1+

1

2

[cos(

5π

3

-2β)-cos2β]=1-

1

2

(

3

2

sin2β+

1

2

cos2β)=1-

1

2

sin(2β+

π

6

)
因?yàn)?span id="6661166" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0＜β＜

π

2

，

π

6

＜2β+

π

6

＜

7π

6

，-

1

2

＜sin(2β-

π

3

)≤1，
所以

1

2

≤1-

1

2

sin(2β+

π

6

)＜

3

4

，
即β=

π

6

、α=

2π

3

時(shí)，y取最小值，
且ymin=

1

2

．

點(diǎn)評：試題核心是三角計(jì)算，情景與條件有鮮明的幾何意義，試題求解綜合了較多三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)．