Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²-（a+1）x+1）e^x，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=（x²-2x+1）e^x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，分別討論①當(dāng)a=0時，②當(dāng)a＞0時，③當(dāng)a＜0時的情況，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=（x²-2x+1）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+1）e^x=（x²-1）e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，
列表討論如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

（2）由題意得，f′（x）=（2ax-a-1）e^x+[ax²-（a+1）x+1）e^x
=[ax²+（a-1）x-a]e^x，
由f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減得，f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，
即ax²+（a-1）x-a≤0在[0，1]上恒成立，
令g（x）=ax²+（a-1）x-a，x∈[0，1]，
①當(dāng)a=0時，g（x）=-x≤0在[0，1]上恒成立；
②當(dāng)a＞0時，g（x）=ax²+（a-1）x-a過點（0，-a），
即g（0）=-a＜0，只需g（1）=a+a-1-a=a-1≤0，就滿足條件；
解得a≤1，則此時0＜a≤1，
③當(dāng)a＜0時，同理有g(shù)（0）=-a＞0，
∴ax²+（a-1）x-a≤0在[0，1]上不可能恒成立，
綜上得，所求的a的取值范圍是[0，1]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，屬于中檔題．