Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-1|，其最小值為t．
（1）求t的值；
（2）若正實數(shù)a，b滿足a+b=t，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式|a+b|≥|a-b|便可得出|x+3|+|x-1|≥4，從而得出f（x）的最小值為4，即得到t=4；
（2）可知a+b=4，a＞0，b＞0，從而有$1=\frac{a+b}{4}$，這樣便可得出$\frac{1}{a}+\frac{4}=\frac{4a}+\frac{a}+\frac{5}{4}$，而根據(jù)基本不等式即可得出$\frac{4a}+\frac{a}≥1$，這樣便可證出$\frac{1}{a}+\frac{4}≥\frac{9}{4}$．

解答 解：（1）f（x）=|x+3|+|x-1|≥|（x+3）-（x-1）|=4；
∴f（x）的最小值為4；
∴t=4；
（2）證明：a＞0，b＞0，a+b=4；
∴$1=\frac{a+b}{4}，4=a+b$；
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}=\frac{a+b}{4a}+\frac{a+b}$
=$\frac{4a}+\frac{a}+\frac{5}{4}$
$≥2\sqrt{\frac{4a}•\frac{a}}+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4a}=\frac{a}$，即b=$2a=\frac{8}{3}$時取“=”；
即$\frac{1}{a}+\frac{4}≥\frac{9}{4}$．

點評 考查絕對值不等式公式：|a|+|b|≥|a-b|，以及基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用基本不等式要注意判斷等號能否取到．