Question

12．已知P為△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+2y$\overrightarrow{AC}$，其中x，y∈R為實(shí)數(shù)，設(shè)點(diǎn)M（x，y），點(diǎn)N（1，1），當(dāng)點(diǎn)P落在△ABC的內(nèi)部，|MN|的取值范圍是（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由P在△ABC內(nèi)部可知$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2y＞0}\\{0＜x+2y＜1}\end{array}\right.$，作出可行域，根據(jù)|MN|的幾何意義求出|MN|的最大值和最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+2y$\overrightarrow{AC}$，點(diǎn)P落在△ABC的內(nèi)部，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{0＜x+2y＜1}\end{array}\right.$，
作出約束條件表示的可行域如圖：
由可行域可知|MN|的最小值為N到直線x+2y=1的距離d=$\frac{|1+2-1|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
|MN|的最大值為|ON|=$\sqrt{2}$．
故答案為（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，屬于中檔題．