Question

20．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分別為邊AC，AB的中點，點F，G分別為線段CD，BE的中點．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使∠A₁DC=60°．點Q為線段A₁B上的一點，如圖2．

（Ⅰ）求證：A₁F⊥BE；
（Ⅱ）線段A₁B上是否存在點Q£?使得FQ∥平面A₁DE？若存在，求出A₁Q的長，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）當$\overrightarrow{{A_1}Q}=\frac{3}{4}\overrightarrow{{A_1}B}$時，求直線GQ與平面A₁DE所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）由DE⊥平面A₁DC得出DE⊥A₁F，再證出AF₁⊥CD得出A₁F⊥平面BCDE，從而得出A₁F⊥BE；
（II）取A₁B的中點Q，連接FG，F(xiàn)Q，GQ，通過中位線證明平面GFQ∥平面A₁DE，從而可得FQ∥平面A₁DE；
（III）以F為原點建立空間坐標系，求出平面A₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{GQ}$的坐標，則|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{GQ}$＞|為所求角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：
∵A₁D=DC，
∠A₁DC=60°，
∴△A₁DC為等邊三角形，又F為線段CD的中點，
∴A₁F⊥DC，
由圖1可知ED⊥A₁D，ED⊥DC，
∴ED⊥平面A₁DC，又A₁F?平面A₁DC，
∴ED⊥A₁F，
又ED∩DC=D，DE?平面BCDE，CD?平面BCDE，
∴A₁F⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE，
所以A₁F⊥BE．     
（Ⅱ）取A₁B的中點Q，連接FG，F(xiàn)Q，GQ，
∵G，F(xiàn)，Q分別是BE，CD，A₁B的中點，
∴FG∥DE，GQ∥A₁E，
又FG?平面GFQ，GQ?平面GFQ，DE?平面A₁DE，A₁E?平面A₁DE，
∴平面GFQ∥平面A₁DE，又FQ?平面GFQ，
∴FQ∥平面A₁DE．
∴當Q為A₁B的中點時，F(xiàn)Q∥平面A₁DE．
連接BF，則BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由（I）知△A₁DC是邊長為2的等邊三角形，A₁F⊥平面BCDE，
∴A₁F=$\sqrt{3}$，A₁F⊥BF，
∴A₁B=$\sqrt{B{F}^{2}+{A}_{1}{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴A₁Q=$\frac{1}{2}{A}_{1}B$=$\sqrt{2}$．
（Ⅲ）以F為原點，以FC，F(xiàn)G，F(xiàn)A₁為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則D（-1，0，0），E（-1，1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，2，0），G（0，$\frac{3}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，0），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{G{A}_{1}}$=（0，-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），∴$\overrightarrow{GQ}$=$\overrightarrow{G{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=（$\frac{3}{4}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
設平面A₁DE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{GQ}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GQ}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{GQ}|}$=$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
設直線GQ與平面A₁DE所成角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{GQ}$＞|=$\frac{1}{2}$，
∴直線GQ與平面A₁DE所成角為30°．

點評 本題考查了線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．