Question

12．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+2cosθ}\\{y=2\sqrt{2}+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點P的極坐標為（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）求直線l以及曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C交于A、B兩點，求三角形PAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求直線l以及曲線C的普通方程，可得相應極坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C交于A、B兩點，求出|AB|，P到直線y=x的距離，即可求三角形PAB的面積．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），普通方程為y=x，極坐標方程為θ=$\frac{π}{4}$；
曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+2cosθ}\\{y=2\sqrt{2}+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數），普通方程為$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-2\sqrt{2}）^{2}$=4，極坐標方程為${ρ}^{2}-2\sqrt{2}ρcosα-4\sqrt{2}ρsinα-6=0$；
（Ⅱ）設直線l與曲線聯立，可得${x}^{2}-3\sqrt{2}x-3$=0，∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{18+12}$=$\sqrt{60}$，
點P的極坐標為（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$），即（0，3$\sqrt{2}$）到直線y=x的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3，
∴三角形PAB的面積=$\frac{1}{2}×\sqrt{60}×3$=3$\sqrt{15}$．

點評 本題考查參數方程與極坐標方程的轉化，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．