Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$若|f（x）|+a≥ax，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，0）
• B． [0，1]
• C． （0，1]
• D． [-2，0]

Answer 1

分析 ①當(dāng)x≤1時，f（x）|+a≥ax，化簡為x²-4x+3+a≥ax，分離參數(shù)a，利用恒成立思想可求得a≥-2；②當(dāng)x＞1時，|f（x）|+a≥ax化簡為lnx≥a（x-1），作圖，由函數(shù)圖象可知a≤0，從而可得答案．

解答 解：①當(dāng)x≤1時，f（x）=-x²+4x-3=-（x-2）²+1≤0，
所以|f（x）|+a≥ax，化簡為x²-4x+3+a≥ax，
即a（x-1）≤x²-4x+3=（x-1）²-2（x-1），
因?yàn)閤≤1，所以a≥x-1-2恒成立，所以a≥-2；
②當(dāng)x＞1時，f（x）=lnx＞0，所以|f（x）|+a≥ax化簡為lnx≥a（x-1）恒成立，如圖：

由函數(shù)圖象可知a≤0，
綜上，當(dāng)-2≤a≤0時，不等式|f（x）|+a≥ax恒成立
故選：D

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，突出考查等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，當(dāng)x≤1時，分離參數(shù)，當(dāng)x＞1時作圖都是關(guān)鍵，考查恒成立問題，屬于難題．