分析 (1)依題意,S1,$\frac{{S}_{2}}{2}$,$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差數(shù)列⇒$\frac{{S}_{2}}{2}$-$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$,即$\frac{1+c}{1+1}$=$\frac{2+c}{2+1}$,于是可求c的值;
(2)由c=1得:$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1,可知數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,于是可求得Sn=n2,繼而可求得數(shù)列{an}的通項公式.
解答 解:(1)∵a1=1,$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n+c}{n+1}$(c∈R,n=1,2,3,…),且S1,$\frac{{S}_{2}}{2}$,$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差數(shù)列,
∴$\frac{{S}_{2}}{2}$-$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$,即$\frac{1+c}{1+1}$=$\frac{2+c}{2+1}$,
解得:c=1;
(2)由c=1得:$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1,又$\frac{{S}_{1}}{1}$=1,
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+(n-1)×1=n,
∴Sn=n2.
∴當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
當n=1時,a1=1符合上式,
∴數(shù)列{an}的通項公式為:an=2n-1.
點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用,求得c=1與Sn=n2是解決問題的關(guān)鍵,考查等差數(shù)列性質(zhì)的運用于等差關(guān)系的判定及通項公式的求法,屬于中檔題.
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | {2} | B. | {2,3} | C. | {3} | D. | {2,3,4} |
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