13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n+c}{n+1}$(c∈R,n=1,2,3,…),且S1,$\frac{{S}_{2}}{2}$,$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差數(shù)列.
(1)求c的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.

分析 (1)依題意,S1,$\frac{{S}_{2}}{2}$,$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差數(shù)列⇒$\frac{{S}_{2}}{2}$-$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$,即$\frac{1+c}{1+1}$=$\frac{2+c}{2+1}$,于是可求c的值;
(2)由c=1得:$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1,可知數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,于是可求得Sn=n2,繼而可求得數(shù)列{an}的通項公式.

解答 解:(1)∵a1=1,$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n+c}{n+1}$(c∈R,n=1,2,3,…),且S1,$\frac{{S}_{2}}{2}$,$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差數(shù)列,
∴$\frac{{S}_{2}}{2}$-$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$,即$\frac{1+c}{1+1}$=$\frac{2+c}{2+1}$,
解得:c=1;
(2)由c=1得:$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1,又$\frac{{S}_{1}}{1}$=1,
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+(n-1)×1=n,
∴Sn=n2
∴當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
當n=1時,a1=1符合上式,
∴數(shù)列{an}的通項公式為:an=2n-1.

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用,求得c=1與Sn=n2是解決問題的關(guān)鍵,考查等差數(shù)列性質(zhì)的運用于等差關(guān)系的判定及通項公式的求法,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx),其中常數(shù)ω>0.
(1)令ω=1,判斷函數(shù)$F(x)=f(x)+f(x-\frac{π}{2})$的奇偶性并說明理由;
(2)已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=$\sqrt{3}$,b=2,sin B=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,求F(x)+4cos(2A+$\frac{π}{6}$),(x∈[0,$\frac{11π}{12}$])的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.給出下列四個命題:
①若x>0,則x>sinx恒成立;
②命題“?x>0,x-lnx>0”的否定是“?x>0,x-lnx≤0”
③“命題p∨q為真”是“命題p∧q為真”的充分不必要條件;
④命題“若a2+b2=0,則a=0且b=0”的逆否命題是“若a≠0或b≠0,則a2+b2≠0”
正確的是( 。
A.①④B.①②C.②④D.③④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n+1-2,數(shù)列{bn}是首項為a1,數(shù)列{bn}滿足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),且b2=4.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)若cn=$\frac{2}{{(n+1){b_n}}}$(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項和Tn
(3)設(shè)dn=an•bn,數(shù)列{dn}的前n項和Mn,若Mn>2m-1恒成立,試求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.解下列關(guān)于x的不等式:
(1)-x2+2x-$\frac{2}{3}$>0;
(2)x2+(1-a)x-a<0,a∈R.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.若復(fù)數(shù)z=$\frac{a+i}{i}$,且z∈R,則實a=(  )
A.1B.-1C.0D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.已知函數(shù)f(x)=2x-$\frac{x}$,(b>0),證明:f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.“不等式x2-5x-6<0成立”是“0<log2(x+1)<2成立”的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B={2,3,4},則A∩B=( 。
A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{2,3,4}

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案