Question

5．已知函數(shù)f（x）=2x-$\frac{x}$，（b＞0），證明：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 證法一：設(shè)x₂＞x₁＞0，作差判斷f（x₂），f（x₁）的大小，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案；
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，進(jìn)而f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

解答 證法一：設(shè)x₂＞x₁＞0，
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（2{x_2}-\frac{x_2}）-（2{x_1}-\frac{x_1}）=2（{x_2}-{x_1}）-（\frac{x_2}-\frac{x_1}）$
=$（{x_2}-{x_1}）（2+\frac{{{x_1}{x_2}}}）$，
因?yàn)閤₂＞x₁＞0，b＞0．
所以x₂-x₁＞0，$2+\frac{{{x_1}{x_2}}}＞0$，
所以f（x₂）＞f（x₁），
所以由定義知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
證法二：∵函數(shù)f（x）=2x-$\frac{x}$，（b＞0），
∴f′（x）=2+$\frac{{x}^{2}}$，
∵b＞0，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的證明，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．