Question

已知雙曲線C₁與橢圓C₂的公共焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，點(diǎn)A是C₁、C₂在第一象限的公共點(diǎn)，若F₁F₂=F₁A，C₂的離心率是

2

3

，則雙曲線C₁的漸近線方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線C₁的半焦距為c，半實(shí)軸長為a，橢圓C₂的半焦距為c，半實(shí)軸長為a'，運(yùn)用雙曲線和橢圓的定義，結(jié)合離心率公式，求得c=2a，再由雙曲線的a，b，c的關(guān)系，即可得到漸近線方程．

解答： 解：設(shè)雙曲線C₁的半焦距為c，半實(shí)軸長為a，
橢圓C₂的半焦距為c，半實(shí)軸長為a'，
則由雙曲線的定義可得，AF₁-AF₂=2a，
由橢圓的定義可得，AF₁+AF₂=2a'，
解得AF₁=a+a'，
由于F₁F₂=F₁A，則2c=a+a'．
C₂的離心率是

2

3

，則有

c

a′

=

2

3

，
即有a'=

3

2

c，
即有a=2c-

3

2

c=

1

2

c，
雙曲線的b=

c2-a2

=

3

a，
則雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，
即為y=±

3

x．
故答案為：y=±

3

x．

點(diǎn)評：本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率公式的運(yùn)用，考查漸近線方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．