Question

3．已知0＜θ＜$\frac{π}{2}$，f（θ）=1+m+m（$\frac{cosθ-1}{sinθ}$）+$\frac{sinθ-1}{cosθ}$（m＞0），則使得f（θ）有最大值時的m的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （$\frac{1}{3}$，3）
• C． [1，3]
• D． [$\frac{1}{4}$，1]

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式把已知函數(shù)化成正切函數(shù)，令$tan\frac{θ}{2}=t$（0＜t＜1），構(gòu)造一個新函數(shù)g（t），再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)得到g（t）在（0，1）上必有最大值，然后求出m的取值范圍．

解答 解：f（θ）=1+m+m（$\frac{cosθ-1}{sinθ}$）+$\frac{sinθ-1}{cosθ}$=$1+m-mtan\frac{θ}{2}-\frac{1-tan\frac{θ}{2}}{1+tan\frac{θ}{2}}$，
令$tan\frac{θ}{2}=t$（0＜t＜1），則$g（t）=1+m-mt-\frac{1-t}{1+t}$=$2+2m-[m（t+1）+\frac{2}{t+1}]$，
$m（t+1）+\frac{2}{t+1}≥2\sqrt{2m}$當(dāng)且僅當(dāng)$m=\frac{2}{（t+1）^{2}}$時等號成立，即g（t）在（0，1）上必有最大值，
∴m的范圍為（$\frac{1}{2}$，2）．
故選：A．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查不等式的基本性質(zhì)，考查計算能力．是基礎(chǔ)題．