已知函數(shù)f（x）=5
3
cos2x+
3
sin2x-4sinxcosx，x∈[
π
4
，
π
2
]
（1）求f（x）最小值
（2）求f（x）的單減區(qū)間．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象
專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）先對三角關系式進行恒等變換，進一步求出正弦型函數(shù)的關系式，最后利用三角函數(shù)的定義域求出三角函數(shù)的值域．
（2）利用（1）的結(jié)論，進一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=5
3
cos2x+
3
sin2x-4sinxcosx=4
3
cos2x-2sin2x+
3

=4cos（2x+
π
6
）+3
3

由于
π
4
＜x＜
π
2

則：
2π
3
＜2x+
π
6
＜
7π
6

則：-1≤cos(2x+
π
6
)＜-
1
2

進一步求出：3
3
-4≤4cos(2x+
π
6
)+3
3
＜3
3
-2
即：3
3
-4≤f(x)＜3
3
-2
所以函數(shù)f(x)min=3
3
-4
（2）利用（1）f（x）=4cos（2x+
π
6
）+3
3

令：2kπ≤2x+
π
6
≤2kπ+π（k∈Z）
解得：kπ-
π
12
≤x≤kπ+
5π
12
（k∈Z）
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：x∈[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
]（k∈Z）
點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用正弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．屬于基礎題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線y=2x2-1的頂點為A，其上一動點P（x1，y1），則線段PA的中點M的軌跡方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

己知圓C：x2+（y-2）2=5，直線l：mx-y+1=0．
（1）求證：對m∈R，直線l與該圓C總有兩個不同交點；
（2）設直線l與圓C交與A、B兩點，且|AB|=
19
，求該直線的斜率；
（3）求弦AB的中點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），則b的范圍是（　�。�
A、（2-
3
，2+
3
）
B、[2-
3
，2+
3
]
C、（-1，5）
D、[-1，5]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設M是橢圓
x2
25
+
y2
16
=1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點，∠F1MF2=
π
6
，則△MF1F2的面積為（　�。�
A、
16
3
3
B、16(2+
3
)
C、16(2-
3
)
D、16

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：△ABC中，
sinA
sinC
=
sin(A-B)
sin(B-C)
，求證：2b2=a2+c2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為[a，b]上的單調(diào)增函數(shù)，求證：方程f（x）=0在[a，b]上至多有一個實數(shù)根．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某學校舉行聯(lián)歡會，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎，甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”“待定”“淘汰”三類票各一張，每個節(jié)目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為
1
3
，且三人投票相互沒有影響，若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎；否則，該節(jié)目不能獲一等獎．
（1）求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎的概率；
（2）求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎”和“待定”票票數(shù)之和X的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

關于x的不等式|tx-2|-|tx-t|≤1，其中t是實參數(shù)．
（1）當t=1時，解上面的不等式．
（2）若?x∈R，上面的不等式均成立，求實數(shù)t的范圍．

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