Question

如圖，在所有棱長均為2的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別為BC、BB₁的中點，
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求證：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）求AB₁與平面AC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）連結(jié)A₁C交AC₁于點O，連結(jié)OD，由平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理證出A₁B∥OD，根據(jù)線面平行判定定理，可得A₁B∥平面AC₁D；
（II）根據(jù)BB₁⊥平面ABC，得到BB₁⊥AD，等腰△ABC中根據(jù)“三線合一”，得到AD⊥BC，從而證出AD⊥平面BB₁C₁C，可得AD⊥CE．正方形BB₁C₁C中，根據(jù)Rt△CBE≌Rt△C₁CD證出C₁D⊥CE，再利用線面垂直判定定理即可證出CE⊥平面AC₁D；
（III）取C₁C的中點N，連結(jié)B₁N交C₁D于點M，連結(jié)AM，證出四邊形CNB₁E為平行四邊形，得CE∥B₁N，從而得出B₁N⊥平面AC₁D，所以∠B₁AM就是直線AB₁與平面AC₁D所成的角．設(shè)CE∩C₁D=F，在△C₁CD中算出CF的長，從而得出MN、B₁M的長，最后在Rt△B₁AM中利用三角函數(shù)的定義算出sin∠B₁AM=

10

5

，即得直線AB₁與平面AC₁D所成角的正弦值．

解答：解：（I）連結(jié)A₁C交AC₁于點O，連結(jié)OD
∵四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，∴O為A₁C的中點，
∵D為BC的中點，∴OD是△A₁BC的中位線，可得A₁B∥OD，
∵OD?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D；
（II）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
∵△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵CE?平面BB₁C₁C，∴AD⊥CE，
∵正方形BB₁C₁C中，D、E分別為BC、BB₁的中點，
∴Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE，可得∠BCE+∠C₁DC=90°，得C₁D⊥CE，
∵AD、C₁D是平面AC₁D內(nèi)的相交直線，∴CE⊥平面AC₁D；
（III）取C₁C的中點N，連結(jié)B₁N交C₁D于點M，
∵CN

∥

.

B₁E，∴四邊形CNB₁E為平行四邊形，可得CE∥B₁N，
∵CE⊥平面AC₁D，∴B₁N⊥平面AC₁D，
連結(jié)AM，可得AM是AB₁在平面AC₁D內(nèi)的射影，
∴∠B₁AM就是直線AB₁與平面AC₁D所成的角．
設(shè)CE∩C₁D=F，在Rt△C₁CD中，CC₁•DC=C₁D•CF，可得CF=

2 5

5

．
又∵M(jìn)N

∥

.

1

2

CF，∴MN=

5

5

，可得B₁M=

4 5

5

，
∵Rt△B₁AM中，B₁A=2

2

，∴sin∠B₁AM=

B1M

AB1

=

10

5

，
由此可得AB₁與平面AC₁D所成角的正弦值為

10

5

．

點評：本題在特殊的正三棱柱中證明線面平行、線面垂直，并求直線與平面所成角．著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的判斷與證明和直線與平面所成角的定義及求法等知識，屬于中檔題．