Question

2010年我國西南地區(qū)遭受特大旱災(zāi)，某地政府決定興修水利，某灌渠的橫截面設(shè)計方案如圖所示，橫截面邊界AOB設(shè)計為拋物線型，渠寬AB為2m，渠深OC為1.5m，正常灌溉時水面EF距AB為0.5m．
（1）求水面EF的寬度；
（2）為了使灌渠流量加大，將此水渠的橫截面改造為等腰梯形，受地理條件限制要求渠深不變，不準(zhǔn)往回填土，只準(zhǔn)挖土，試求截面等腰梯形的下底邊長為多大時，才能使所挖的土最少？

Answer 1

解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（-1，1.5），B（1，1.5），C（0，1.5）．

設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0），由點A（-1，1.5）代入方程，得到1=2p×1.5，即，所以拋物線方程為x²=，
由點E的縱坐標(biāo)為1，得到點E橫坐標(biāo)為，所以截面圖中水面寬度為m．
（2）設(shè)拋物線上一點M，因為改造水渠時只準(zhǔn)挖土，而且要求挖出的土最少，
所以只能沿過點M與拋物線相切的切線挖土．
由，即，求導(dǎo)得y'=3x，所以過點M的切線斜率為3t，切線方程為，
令y=0，則，
所以截面面積為S=，當(dāng)且僅當(dāng)t=時等號成立．
所以截面梯形的下底邊長為m時，才能使所挖的土最少．
分析：（1）先建立直角坐標(biāo)系，從而可得到A，B，C的坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，將A的坐標(biāo)代入即可得到拋物線的方程，再結(jié)合點E的縱坐標(biāo)可求得其橫坐標(biāo)，從而可求得EF的寬度．
（2）先設(shè)出點M的坐標(biāo)，根據(jù)沿過點M與拋物線相切的切線挖土?xí)r挖出的土最少，然后對拋物線方程進行求導(dǎo)，求得點M的切線的斜率，表示出切線方程，然后令y=0、，求得對應(yīng)的x的值，從而表示出截面面積，最后根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可求得t的值．
點評：本題主要考查拋物線在實際生活中的應(yīng)用．拋物線在現(xiàn)實生活中應(yīng)用很廣泛，在高考中也占據(jù)很重要的地位，所以希望廣大考生在學(xué)習(xí)這里的知識時能夠做到活學(xué)活用．