【題目】函數(shù)f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),且f(1)=1.
(1)求a,b的值;
(2)判斷并用定義證明f(x)在(+∞)的單調(diào)性.
【答案】(1)a=5,b=0; (2)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù),可利用f(1)=1和f(-1)=-1,解方程組可得a、b值,然后進行驗證即可;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義利用作差法進行證明.
(1)根據(jù)題意,f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),且f(1)=1,
則f(-1)=-f(1)=-1,
則有,解可得a=5,b=0;經(jīng)檢驗,滿足題意.
(2)由(1)的結(jié)論,f(x)=,
設(shè)<x1<x2,
f(x1)-f(x2)=-=,
又由<x1<x2,則(1-4x1x2)<0,(x1-x2)<0,
則f(x1)-f(x2)>0,
則函數(shù)f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞減.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+bx(其中a,b為常數(shù),a>0且a≠1,b>0且b≠1)的圖象經(jīng)過點A(1,6),.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若a>b,函數(shù),求函數(shù)g(x)在[-1,2]上的值域.
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【題目】對于函數(shù)f(x)=x3cos3(x+ ),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù)且在(﹣ , )上遞增
B.f(x)是奇函數(shù)且在(﹣ , )上遞減
C.f(x)是偶函數(shù)且在(0, )上遞增
D.f(x)是偶函數(shù)且在(0, )上遞減
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點是曲線上的動點, 到點的距離與到直線的距離相等.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)是曲線上的點,點在曲線上,直線分別與軸交于點,且,求直線的斜率.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)當(dāng)a=﹣2時,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)設(shè)a>﹣1,且當(dāng) 時,f(x)≤g(x),求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2(ex+e﹣x)﹣(2x+1)2(e2x+1+e﹣2x﹣1),則滿足f(x)>0的實數(shù)x的取值范圍為( )
A.(﹣1,﹣ )
B.(﹣∞,﹣1)
C.(﹣ ,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(﹣ ,+∞)
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【題目】定義在(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足如下三個條件:
①對于任意正實數(shù)a、b,都有f(ab)=f(a)+f(b)-1;
②f(2)=0;
③x>1時,總有f(x)<1.
(1)求f(1)及的值;
(2)求證:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
(3)如果存在正數(shù)k,使關(guān)于x的方程f(kx)+f(2-x)=-1有解,求正實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.
(1)分別求A∩B,(RA)∪(RB);
(2)已知集合C={x|a<x<a2+1},若CA,求滿足條件的實數(shù)a的取值范圍.
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