Question

18．正四棱錐P-ABCD中，∠APC=60°，H為底面ABCD的中心，以PH為直徑的球O分別與PA，PB，PC交于A′，B′，C′，D′，若球O的表面積為3π，則四邊形A′B′C′D′的面積等于$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 如圖所示，過點(diǎn)A，P，C作證四棱錐與球的截面，并連接A′H，則A′H⊥PA，∠APH=30°，利用球O的表面積為3π，求出球的半徑，再求出A′H′，B′D′，即可求出四邊形A′B′C′D′的面積．

解答 解：如圖所示，過點(diǎn)A，P，C作證四棱錐與球的截面，并連接A′H，則A′H⊥PA，∠APH=30°，
∵球O的表面積為3π，
∴4πR²=3π，
∴PH=2R=$\sqrt{3}$．
△PA′H′中，PA′=PHcos30°=$\frac{3}{2}$，
△PA′H′中，A′H′=PA′sin30°=$\frac{3}{4}$，∴A′C′=$\frac{3}{2}$，
∴正方形A′B′C′D′的面積S=2×$\frac{1}{2}×A′H′×B′D′$=$\frac{9}{8}$．
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查四邊形A′B′C′D′的面積，考查球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．