8.已知{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,a2=2,且a4,3a3,a5成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{an+1-λan}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2n-1(n∈N*),求實(shí)數(shù)λ的值.

分析 (1)根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程關(guān)系求出公比即可,
(2)根據(jù)等比數(shù)列的求和公式利用分組法求出Sn的值,利用對(duì)比法進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)∵a2=2,且a4,3a3,a5成等差數(shù)列.
∴a4+a5=2×3a3,
即qa3+q2a3=6a3
即q2+q-6=0,得q=2或q=-3,
∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,
∴q>0,
即q=2,則an=a2qn-2=2•2n-2=2n-1
(2)∵數(shù)列{an+1-λan}的前n項(xiàng)和為Sn,
∴Sn=(a2+a3+a4+…+an+1)-λ(a1+a2+a3+a4+…+an
=$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$-λ•$\frac{1×(1-{2}^{n})}{1-2}$=2(2n-1)-λ(2n-1)=(2n-1)(2-λ),
若Sn=2n-1(n∈N*),
∴Sn=2n-1=(2n-1)(2-λ),
則2-λ=1,則λ=1.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算,根據(jù)方程組法求出公比是解決本題的關(guān)鍵.

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