Question

已知數(shù)列的各項分別是：

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…，

1

n×(n+1)

，
它的前n項和為S_n．
（1）計算：S₁，S₂，S₃，由此猜想S_n的表達式；
（2）用數(shù)學歸納法證明（1）得到的結論．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,歸納推理

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）設a_n=

1

n×(n+1)

，利用裂項法可知a_n=

1

n

-

1

n+1

，于是可求得S₁，S₂，S₃，由此猜想S_n的表達式；
（2）利用數(shù)學歸納法，先證明當n=1時，等式成立，再假設當n=k時，等式成立，即S_k=

k

k+1

，去證明當n=k+1時，等式也成立即可．

解答： 解：（1）設a_n=

1

n×(n+1)

，則a_n=

1

n

-

1

n+1

，
故S₁=

1

2

，S₂=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）=

2

3

；S₃=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）=

3

4

；
故猜想S_n=

n

n+1

．
（2）證明：①當n=1時，S₁=

1

2

，成立；
②假設當n=k時，等式成立，即S_k=

k

k+1

，
則當n=k+1時，S_k+1=S_k+a_k+1=

k

k+1

+（

1

k+1

-

1

(k+1)+1

）=1-

1

(k+1)+1

=

k+1

(k+1)+1

，即n=k+1時也成立，
綜合①②知，對任意n∈N^*，S_n=

n

n+1

．

點評：本題考查歸納推理的應用，著重考查數(shù)學歸納法，考查運算推理能力，屬于中檔題．