Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

b

x

（a，b≠0，a，b∈R）
（1）當b=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當b=a²時，若存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：函數(shù)f（x）=alnx+

b

x

的定義域為（0，+∞），
（1）當b=1時，f（x）=alnx+

1

x

；求導f′（x）=

a

x

-

1

x2

=

ax-1

x2

；從而討論確定導數(shù)的正負以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當b=a²時，f（x）=alnx+

a2

x

；求導f′（x）=

a(x-a)

x2

，討論確定導數(shù)的正負以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而化存在性問題為最值問題．

解答： 解：函數(shù)f（x）=alnx+

b

x

的定義域為（0，+∞），
（1）當b=1時，f（x）=alnx+

1

x

；
f′（x）=

a

x

-

1

x2

=

ax-1

x2

；
故當a＜0時，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
當a＞0，當x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＜0；
當x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，

1

a

）上是減函數(shù)，在（

1

a

，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當b=a²時，f（x）=alnx+

a2

x

；
f′（x）=

a(x-a)

x2

，
當a＜0時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，e]上是減函數(shù)，
故存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立可化為
f（e）=a+

a2

e

＜0；
故-e＜a＜0；
當a＞0，f（x）在（0，a）上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)；
故當0＜a＜e時，存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立可化為
f（a）=alna+a＜0，故0＜a＜

1

e

；
當a≥e時，存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立可化為
f（e）=a+

a2

e

＜0，無解；
故實數(shù)a的取值范圍為（-e，0）∪（0，

1

e

）．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及存在性問題化為最值問題的處理方法應用，屬于中檔題．