Question

已知函數f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab（a≠0），當x∈（-3，2）時，f（x）＞0；當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．
（1）求f（x）在[0，1]內的值域；
（2）c為何值時，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．

Answer 1

分析：根據題意，函數f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab（a≠0），有兩個未知參數，進而分析由x∈（-3，2）時，f（x）＞0；當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．可知x=-3和x=2是函數f（x）的零點，由此可以得到兩個參數的兩個方程，解此兩方程求出a，b的值．
（1）f（x）在[0，1]內是減函數，由單調性求出兩端點，即可得到值域．
（2）構造函數g（x）=-3x²+5x+C，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立，由于函數g（x）在[1，4]上是減函數，故一定有
g（1）≤0，由此不等式可以解出c的取值范圍．

解答：解：由題意得x=-3和x=2是函數f（x）的零點且a≠0，則

0=a×(-3)2+(b-8)×(-3)-a-ab 0=a×22+(b-8)×2-a-ab

解得

a=-3 b=5

∴f（x）=-3x²-3x+18．
（1）由圖象知，函數在[0，1]內單調遞減，
∴當x=0時，y=18；
當x=1時，y=12，
∴f（x）在[0，1]內的值域為[12，18]．
（2）令g（x）=-3x²+5x+C、
∵g（x）在[

5

6

，+∞）上單調遞減，要使g（x）≤0在[1，4]上恒成立，則需要g（1）≤0．
即-3+5+c≤0，解得c≤-2，
∴當c≤-2時，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．

點評：本題考查函數的圖象與性質，單調性、零點，方程根與零點的對應關系，綜合性強．