Question

13．某單位280名員工參加“我愛閱讀”活動(dòng)，他們的年齡在25歲至50歲之間，按年齡分組：第1組[25，30），第2組[30，35），第3組[35，40），第4組[40，45），第5組[45，50），得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（ I）現(xiàn)要從年齡低于40歲的員工中用分層抽樣的方法抽取12人，則年齡在第1，2，3組的員工人數(shù)分別是多少？
（ II）為了交流讀書心得，現(xiàn)從上述12人中再隨機(jī)抽取3人發(fā)言，設(shè)3人中年齡在[35，40）的人數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望；
（ III）為了估計(jì)該單位員工的閱讀傾向，現(xiàn)對從該單位所有員工中按性別比例抽取的40人做“是否喜歡閱讀國學(xué)類書籍”進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：（單位：人）

	喜歡閱讀國學(xué)類	不喜歡閱讀國學(xué)類	合計(jì)
男	14	4	18
女	8	14	22
合計(jì)	22	18	40

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，我們能否有99%的把握認(rèn)為該單位員工是否喜歡閱讀國學(xué)類書籍和性別有關(guān)系？
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖得前三組的人數(shù)，即可求出年齡在第1，2，3組的員工人數(shù)分別是多少；
（II）由上可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，求出其概率，即可求ξ的數(shù)學(xué)期望；
（III）求得K²的觀測值，查表得P（K²≥6.635）=0.01，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得前三組的人數(shù)分別為：0.02×5×280=28，28，
[1-（0.02+0.02+0.06+0.02）×5]×280=112
所以前三組抽取的人數(shù)分別為$\frac{28}{28+28+112}×12=2$，2，8（3分）
（ II）由上可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，其概率分別為$P（{ξ=0}）=\frac{C_4^3}{{C_{12}^3}}=\frac{1}{55}$，$P（{ξ=1}）=\frac{C_8^1C_4^2}{{C_{12}^3}}=\frac{12}{55}$$P（{ξ=2}）=\frac{C_8^2C_4^1}{{C_{12}^3}}=\frac{28}{55}$，$P（{ξ=3}）=\frac{C_8^3}{{C_{12}^3}}=\frac{14}{55}$（7分）
所以，$Eξ=0×\frac{1}{55}+1×\frac{12}{55}+2×\frac{28}{55}+3×\frac{14}{55}=2$（9分）
（Ⅲ）假設(shè)H₀：“是否喜歡看國學(xué)類書籍和性別無關(guān)系”，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，
求得K²的觀測值$k=\frac{{40×{{（14×14-4×8）}^2}}}{22×18×22×18}≈6.8605＞6.635$，（11分）
查表得P（K²≥6.635）=0.01，從而能有99%的把握認(rèn)為該單位員工是否喜歡閱讀國學(xué)類書籍和性別有關(guān)系（12分）

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識的運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．