Question

橢圓=1(b＞0)的焦點(diǎn)在x軸上，其右頂點(diǎn)關(guān)于直線x-y+4=0的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓的左準(zhǔn)線上．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交橢圓左準(zhǔn)線于點(diǎn)C．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求△OAB的面積．

Answer 1

解：(Ⅰ)橢圓的右頂點(diǎn)為（2，0），

設(shè)(2，0)關(guān)于直線x-y+4=0的對(duì)稱點(diǎn)為(x₀，y₀)，

則

解得x₀=-4，所以=4，c=1，

則b=，所求橢圓方程為=1．

(Ⅱ)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(-4，y₃)，

由得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0，

所以x₁+x₂=,    ①,

x₁x₂=,        ②

因?yàn)?SUB>，即（x₁，y₁）+（-4，y₃）=2（x₂，y₂），所以2x₂-x₁=-4     ③

由①③得x₂=

代入②得，，整理得4k⁴-k²-5=0，

所以k²=，

所以x₁=，x₂=-，

由于對(duì)稱性，只需求k=時(shí)，△OAB的面積，

此時(shí)，y₁=,y₂=，

所以S_△OAB=|OF|·|y₁-y₂|=.