Question

5．已知數(shù)列{a_n}是公差d≠0的等差數(shù)列，a₂、a₆、a₂₂成等比數(shù)列，a₄+a₆=26．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（2）令$_{n}{=2}^{n-1}{•a}_{n}$求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項為1，公差為3，即可得到所求通項公式；
（2）求得$_{n}{=2}^{n-1}{•a}_{n}$=（3n-2）•2^n-1，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）a₂、a₆、a₂₂成等比數(shù)列，可得：
a₆²=a₂a₂₂，即為（a₁+5d）²=（a₁+d）（a₁+21d），
化為d=3a₁，①
a₄+a₆=26，即為2a₁+8d=26，②
由①②解得a₁=1，d=3，
可得數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=3n-2；
（2）$_{n}{=2}^{n-1}{•a}_{n}$=（3n-2）•2^n-1，
前n項和T_n=1•1+4•2+7•2²+…+（3n-2）•2^n-1，
即有2T_n=1•2+4•2²+7•2³+…+（3n-2）•2ⁿ，
兩式相減可得-T_n=1+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ
=1+3•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-2）•2ⁿ，
化簡可得前n項和T_n=5+（3n-5）•2ⁿ．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)的運用，同時考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題．