Question

如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，且平面CDEF⊥平面ABCD．
（1）求BC與平面EAC所成角的正弦值；
（2）線段ED上是否存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì),直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）首先通過(guò)運(yùn)算找到CA，CF，CB兩兩互相垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，找到與平面EAC垂直的法向量，進(jìn)一步利用向量的夾角求解，最后轉(zhuǎn)化成正弦值．
（2）先假設(shè)點(diǎn)Q存在，然后利用反證法進(jìn)行證明，通過(guò)向量的垂直找到矛盾的條件，從而肯定點(diǎn)的不存在．

解答：  解：（1）因?yàn)锳B=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得 AC=

3

BC，
所以 AC⊥BC．  又因?yàn)?nbsp;FC⊥DC
平面CDEF⊥面ABCD，所以FC⊥平面ABCD． 
所以CA，CF，CB兩兩互相垂直，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
設(shè)BC=1，所以C(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E(

3

2

，-

1

2

，1)
所以

CE

=(

3

2

，-

1

2

，1)，

CA

=(

3

，0，0)，

CB

=(0，1，0)．
設(shè)平面EAC的法向量為

n

=（x，y，z），則有

n • CE =0 n • CA =0

所以 

3 2 x- 1 2 y+z=0 3 x=0.

取z=1，得

n

=（0，2，1）
設(shè)BC與平面EAC所成的角為θ，則，sinθ=|cos|＜

CB

，

n

＞|=

| CB • n |

| CB || n |

=

2 5

5

所以 BC與平面EAC所成角的正弦值為

2 5

5

．
（2）線段ED上不存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC．證明如下：
假設(shè)線段ED上存在點(diǎn)Q，設(shè) Q(

3

2

，-

1

2

，t)（0≤t≤1），所以

CQ

=(

3

2

，-

1

2

，t)．
設(shè)平面QBC的法向量為

m

=（a，b，c），則有

m • CB =0 m • CQ =0

所以 

b=0 3 2 a- 1 2 b+tc=0.

取 c=1，得

m

=(-

2

3

t，0，1)．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需

m

•

n

=0，即 -

2

3

t×0+0×2+1×1=0，
此方程無(wú)解，所以線段ED上不存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：解三角形，利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，法向量，法向量與直線的夾角，反證法在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用