Question

【題目】如圖所示，已知橢圓C1：+=1，C2：+=1（a＞b＞0）有相同的離心率，F(xiàn)（﹣ ， 0）為橢圓C2的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C1、C2依次交于A、C、D、B四點(diǎn)．
（1）求橢圓C2的方程；
（2）求證：無(wú)論直線l的傾斜角如何變化恒有|AC|=|DB|

Answer 1

【答案】（1）解：橢圓C1：+=1的離心率為=，
對(duì)于C2：+=1（a＞b＞0）的c=，由條件得，=，則a=2，b=1，
則橢圓C2的方程為：+y2=1；
（2）證明：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，可得A（﹣，﹣），B（﹣，），C（﹣，﹣），D（﹣，）
即有|AC|=|BD|；
當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x），
由消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣10=0，
由消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），D（x4 ， y4），
則x1+x2=x3+x4=﹣，即有AB，CD的中點(diǎn)重合，則有|AC|=|BD|．
故無(wú)論直線l的傾斜角如何變化恒有|AC|=|DB|
【解析】（1）求得橢圓C1的離心率，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓橢圓C2的方程；
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，可得A，B，C，D的坐標(biāo)，計(jì)算即可得到|AC|=|BD|；當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由中點(diǎn)坐標(biāo)即可得到|AC|=|BD|；
（3）若|AC|=1，由（2）得，|AB|=|CD|+2，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，不滿足題意；當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x），由（2）運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，得到8k4﹣2k2﹣1=0，解方程即可得到．