Question

11．已知函數(shù)f（x）的定義域是R，f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，f（1）=e，g（x）=f′（x）-f（x），g（1）=0，g（x）的導(dǎo)數(shù)恒大于零，函數(shù)h（x）=f（x）-e^x（e=2.71828…）是自然對數(shù)的底數(shù)）的最小值是0．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷f′（x）與f（x）的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)行比較即可．

解答 解：∵f（1）=e，g（x）=f′（x）-f（x），g（1）=0，
∴g（1）=f′（1）-f（1）=0，則f′（1）=f（1）=e，
g′（x）＞0恒成立，
即g（x）為增函數(shù)，
則當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，
即f′（x）-f（x）＞0，
當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，
即f′（x）-f（x）＜0，
構(gòu)造函數(shù)m（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則m′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
則當(dāng)x＞1時(shí)，m′（x）＞0，此時(shí)遞增，
當(dāng)x＜1時(shí)，m′（x）＜0，此時(shí)遞減，
即函數(shù)m（x）取得極小值同時(shí)也是最小值m（1）=$\frac{f（1）}{e}$=1
即m（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$≥1，
則f（x）≥e^x，
則h（x）=f（x）-e^x≥e^x-e^x=0，
即h（x）的最小值為0．
故答案為：0

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．