Question

1．已知函數(shù)f（x）=xe^x-5．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最值
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x-3）+5|，若方程[g（x）]²+tg（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x（x+1），利用導數(shù)判斷出f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)；在（-1，+∞）上為增函數(shù)，$f（x）≥f（-1）=-\frac{1}{e}，所以f{（x）_{min}}=-\frac{1}{e}$
（2）畫出g（x）=|（x-3）e^x-3|的圖象，方程有四個實數(shù)根問題可結(jié)合圖象解決．$結(jié)合圖象令g（x）=u，問題轉(zhuǎn)化為F（u）={u^2}+tu+1在區(qū)間（0，\frac{1}{e}）與（\frac{1}{e}，+∞）$上各有一個零點，由題意F（0）＞0$\left\{\begin{array}{l}F（0）＞0\\ F（\frac{1}{e}）＜0\end{array}\right.⇒t＜-\frac{{{e^2}+1}}{e}$

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=xe^x-5．
∴f′（x）=e^x（x+1），f′（x）=e^x（x+1）=0，x=-1，
f′（x）=e^x（x+1）＞0，x＞-1，
f′（x）=e^x（x+1）＜0，x＜-1，
∴f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)；在（-1，+∞）上為增函數(shù)，
$f（x）≥f（-1）=-\frac{1}{e}，所以f{（x）_{min}}=-\frac{1}{e}$，
（2）g（x）=|（x-3）e^x-3|的圖象，

方程有四個實數(shù)根問題可結(jié)合圖象解決．
$結(jié)合圖象令g（x）=u，問題轉(zhuǎn)化為F（u）={u^2}+tu+1在區(qū)間（0，\frac{1}{e}）與（\frac{1}{e}，+∞）$
上各有一個零點，由題意F（0）＞0$\left\{\begin{array}{l}F（0）＞0\\ F（\frac{1}{e}）＜0\end{array}\right.⇒t＜-\frac{{{e^2}+1}}{e}$．

點評 本題中考查了函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的思想，不等式的運用，屬于綜合題目，學生要有一定的綜合能力．