Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線3x²-y²=3a²（a＞0）的左，右焦點，P是拋物線y²=8ax與雙曲線的一個交點，若|PF₁|+|PF₂|=12，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2．

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），且P在第一象限，求得雙曲線的a，b，c，運用雙曲線的定義可得|PF₂|=6-a，求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，運用拋物線的定義，可得m=6-3a，求得n，代入雙曲線的方程，解方程可得a=1，進而得到準(zhǔn)線方程．

解答 解：設(shè)P（m，n），且P在第一象限，
雙曲線3x²-y²=3a²（a＞0）即為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1，
可得b=$\sqrt{3}$a，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2a，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|+|PF₂|=12，可得
|PF₂|=6-a，
由拋物線y²=8ax可得焦點為（2a，0），準(zhǔn)線方程為x=-2a，
由拋物線的定義可得6-a=m+2a，
解得m=6-3a，n²=8a（6-3a），
代入雙曲線的方程可得
$\frac{（6-3a）^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{8a（6-3a）}{3{a}^{2}}$=1，
解得a=1或$\frac{9}{4}$（舍去），
則準(zhǔn)線的方程為x=-2．
故答案為：x=-2．

點評 本題考查雙曲線和拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查點滿足曲線方程，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．