4.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=1,2Sn=(n+1)an,若關(guān)于正整數(shù)n的不等式an2-tan≤2t2的解集中的整數(shù)解有兩個(gè),則正實(shí)數(shù)t的取值范圍為$[1,\frac{3}{2})$.

分析 a1=1,2Sn=(n+1)an,n≥2時(shí),2an=2(Sn-Sn-1),化為:$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$,可得:an=n.不等式an2-tan≤2t2,化為:(n-2t)(n+t)≤0,t>0,0<n≤2t,
關(guān)于正整數(shù)n的不等式an2-tan≤2t2的解集中的整數(shù)解有兩個(gè),即可得出.

解答 解:∵a1=1,2Sn=(n+1)an
∴n≥2時(shí),2an=2(Sn-Sn-1)=(n+1)an-nan-1,化為:$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$,
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1,
∴an=n.
不等式an2-tan≤2t2,化為:(n-2t)(n+t)≤0,t>0,
∴0<n≤2t,
關(guān)于正整數(shù)n的不等式an2-tan≤2t2的解集中的整數(shù)解有兩個(gè),可知n=1,2.
∴1≤t<$\frac{3}{2}$,
故答案為:$[1,\frac{3}{2})$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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