Question

7．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$；
（2）y=$\sqrt{-2{x}^{2}+x+3}$；
（3）y=x+$\frac{1}{x}$+1；
（4）y=x-$\sqrt{1-2x}$；
（5）y=x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）利用x²=$\frac{1-y}{1+y}$≥0進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)一元二次函數(shù)和根式函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．
（3）利用基本不等式進(jìn)行求解．
（4）利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．
（5）利用三角換元法進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$得y（1+x²）=1-x²；得（1+y）x²=1-y，
當(dāng)y=-1時(shí)，0=2不成立，即y≠-1，
則x²=$\frac{1-y}{1+y}$≥0，得-1＜y≤1，即函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1]．
（2）y=$\sqrt{-2{x}^{2}+x+3}$=$\sqrt{-2（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{25}{8}}$∈[0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$]，即y∈[0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$]；
即函數(shù)的值域?yàn)閇0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$]；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=2+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$，即x=1取等號(hào)；
當(dāng)x＜0時(shí)，y=x+$\frac{1}{x}$+1=-（-x-$\frac{1}{x}$）+1≤-2$\sqrt{-x•\frac{1}{-x}}$+1=-2+1=-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$，即x=-1取等號(hào)；
即y≥3或y≤-1，即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1]∪[3，+∞）
（4）由1-2x≥0得x≤$\frac{1}{2}$，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{2}$]，
函數(shù)y=x-$\sqrt{1-2x}$在（-∞，$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，∴y≤$\frac{1}{2}$$-\sqrt{1-2×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}-\sqrt{1-1}=\frac{1}{2}$，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{2}$]．
（5）由4-x²≥0得-2≤x≤2，即函數(shù)的定義域?yàn)閇-2，2]，
設(shè)x=2cosα，0≤α≤π，則y=x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$=2cosα+$\sqrt{4-4cos^2α}$=2cosα+$\sqrt{4sin^2α}$=2cosα+2sinα=2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵0≤α≤π，
∴$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴sin$\frac{5π}{4}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤sin$\frac{π}{2}$，即$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，-2≤2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$，
即函數(shù)的值域?yàn)閇-2，2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，涉及幾種常見求函數(shù)值域的方法．要求根據(jù)不同的條件選擇合適的方法．