Question

如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點，BG=BD．
（Ⅰ）CF∥AB；
（Ⅱ）CB=CD．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,弦切角

專題：立體幾何

分析：（I）由于D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，利用三角形的中位線定理可得：DE∥BC，可得∠BGD=∠CFE，由BG=BD，可得∠BGD=∠BDG，于是∠BDG=∠CFE．即可證明．
（II）由CF∥AB，BC∥DF，可得四邊形BCFD是平行四邊形，可得CF=BD．由于D是AB的中點，可得CF=AD．因此四邊形ADCF是平行四邊形，于是CD=AF，由于CF∥AB，可得AF=BC，即可證明．

解答： 證明：（I）∵D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，
∴DE∥BC，∴∠BGD=∠CFE，
∵BG=BD，∴∠BGD=∠BDG，
∴∠BDG=∠CFE．
∴CF∥AB．
（II）∵CF∥AB，BC∥DF，∴四邊形BCFD是平行四邊形，
∴CF=BD．
∵D是AB的中點，∴CF=AD．
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴CD=AF，
∵CF∥AB，∴AF=BC，
∴CB=CD．

點評：本題考查了三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質、圓的性質、等邊對等角、平行線的判定與性質等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力，屬于中檔題．