Question

已知一隧道的截面是一個(gè)半橢圓面（如圖所示），要保證車輛正常通行，車頂離隧道頂部至少要有0.5米的距離，現(xiàn)有一貨車，車寬4米，車高2.5米．
（1）若此隧道為單向通行，經(jīng)測量隧道的跨度是10米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)
隧道才能保證此貨車正常通行？
（2）圓可以看作是長軸短軸相等的特殊橢圓，類比圓面積公式，請你推測橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的面積公式．并問，當(dāng)隧道為雙向通行（車道間的距離忽略不記）時(shí)，要使此貨車安全通過，應(yīng)如何設(shè)計(jì)隧道，才會(huì)使同等隧道長度下開鑿的土方量最��？

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）以長軸所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，求出橢圓方程，即可求出結(jié)論；
（2）利用

16

a2

+

9

b2

=1≥2

16×9 a2b2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）以長軸所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）則a=5，橢圓過（2，3），代入可得b=

5 21

7

，
∴隧道頂部離地面至少

5 21

7

米；
（2）橢圓的面積公式為πab，
∵橢圓過點(diǎn)（4，3），∴

16

a2

+

9

b2

=1≥2

16×9 a2b2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

16

a2

=

9

b2

=

1

2

時(shí)取等號(hào)，∴a=4

2

，b=3

2

，會(huì)使同等隧道長度下開鑿的土方量最�。�

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．