Question

已知函數(shù)。

（Ⅰ）若曲線與在公共點處有相同的切線，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）若，求方程在區(qū)間內(nèi)實根的個數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

 

Answer 1

（Ⅰ）1,1（Ⅱ）2

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求出與的導(dǎo)函數(shù)，由曲線與在公共點處有相同的切線知，與在點（1,0）處的函數(shù)值相等且導(dǎo)函數(shù)值也相等，列出關(guān)于的方程組，從而解出的值；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與端點值，根據(jù)函數(shù)的圖像判斷出函數(shù)與方程解得個數(shù)就是方程在區(qū)間內(nèi)實根的個數(shù).

試題解析：（Ⅰ）

則 5分

（Ⅱ）設(shè)，

，令 7分

		極大

所以，原問題 10分

又因為

設(shè)（）

所以在上單調(diào)遞增，

所以有兩個交點 12分

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，函數(shù)的零點，邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力