Question

已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于有下列命題，

①函數(shù)是奇函數(shù)；

②函數(shù)不是周期函數(shù)；

③函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；

④函數(shù)的最大值為.

其中真命題是_________.

 

Answer 1

③

【解析】

試題分析：由題知=，所以=，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720215117319698/SYS201411172022057361468252_DA/SYS201411172022057361468252_DA.005.png">===是偶函數(shù)，故①錯(cuò)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720215117319698/SYS201411172022057361468252_DA/SYS201411172022057361468252_DA.007.png"> ===，周期為，故②錯(cuò)，

因?yàn)樵O(shè)（）是函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)，則，該點(diǎn)關(guān)于(π，0)的對(duì)稱點(diǎn)為（），所以== =- =，即點(diǎn)（）也在函數(shù)圖像上，故圖像關(guān)于(π，0)對(duì)稱，③正確；

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720215117319698/SYS201411172022057361468252_DA/SYS201411172022057361468252_DA.003.png">==，令，則-1≤t≤1，= =（-1≤t≤1），所以==，當(dāng)-1≤≤-或≤≤1時(shí)，＜0，當(dāng)-＜＜時(shí)，＞0，所以該函數(shù)在（-1，-），（，1）上是減函數(shù)，在（-，）是增函數(shù)，當(dāng)=時(shí)，取極大值，因?yàn)楫?dāng)=-1時(shí)，y=0，所以的最大值為，故④錯(cuò)，所以正確的命題為③.

考點(diǎn)：周期變換，函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性，函數(shù)最值，轉(zhuǎn)化與化歸思想