Question

19．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點F₁作圓x²+y²=a²的切線，并延長交雙曲線右支于點P，過右焦點F₂作圓的切線交F₁P于M，且M為F₁P的中點，則雙曲線的離心率e∈（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• C． （$\sqrt{3}，2$）
• D． （2，$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 由雙曲線的對稱性可得M在y軸上，運(yùn)用中位線定理可得M的坐標(biāo)，求得直線MF₂的方程，運(yùn)用點到直線的距離公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，以及離心率公式可得e³-e²-e-1=0，令f（x）=x³-x²-x-1，（x＞1），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，再由零點存在定理，即可得到e的范圍．

解答 解：由雙曲線的對稱性可得M在y軸上，
由中位線定理可得OM∥PF₂，且PF₂⊥x軸，
設(shè)x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
可取P（c，$\frac{^{2}}{a}$），即有M（0，$\frac{^{2}}{2a}$），
直線MF₂的方程為cy+$\frac{^{2}}{2a}$x=$\frac{^{2}c}{2a}$，
由直線和圓相切的條件可得，
$\frac{\frac{^{2}c}{2a}}{\sqrt{{c}^{2}+\frac{^{4}}{4{a}^{2}}}}$=a，化為b²c=（c²-a²）c=a（c²+a²），
由e=$\frac{c}{a}$，可得e³-e²-e-1=0，
令f（x）=x³-x²-x-1，（x＞1），
f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）＞0，f（x）遞增．
由f（1）=-2＜0，f（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2-$\sqrt{2}$-1=$\sqrt{2}$-3＜0，
f（$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$-3-$\sqrt{3}$-1=2$\sqrt{3}$-4＜0，
f（2）=8-4-2-1=1＞0，
即有e∈（$\sqrt{3}$，2）．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，以及構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，運(yùn)用零點存在定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．