Question

6．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，4S_n=a_n•a_n+1，n∈N⁺．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）4S_n=a_n•a_n+1，n∈N⁺．可得當(dāng)n=1時(shí)，4a₁=a₁•a₂，解得a₂=4．當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1=a_n-1a_n，可得a_n+1-a_n-1=4．因此數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，公差都為4．進(jìn)而得到該數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2．可得a_n．
（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵4S_n=a_n•a_n+1，n∈N⁺．
∴當(dāng)n=1時(shí)，4a₁=a₁•a₂，解得a₂=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1=a_n-1a_n，可得4a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正數(shù)，∴a_n+1-a_n-1=4．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，公差都為4．
∴a_2k-1=2+4（k-1）=4k-2=2n，a_2k=4+4（k-1）=4k=2n．
∴該數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．