Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為3的菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=3．E為PD中點，F(xiàn)在棱PA上，且AF=1
（Ⅰ）求證：CE∥面BDF；
（Ⅱ）求三棱錐P-BDF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PF中點G，連接EG，CG．連接AC交BD于O，連接FO．由三角形中位線定理可得FO∥GC，GE∥FD．然后利用平面與平面平行的判定得到面GEC∥面FOD，進一步得到CE∥面BDF；
（Ⅱ）由PA是三棱錐P-ABD的高，求出底面三角形ABD的面積，由三棱錐P-BDF的體積等于三棱錐P-ABD的體積與三棱錐F-ABD的體積差求解．

解答 證明：（Ⅰ）如圖所示，取PF中點G，連接EG，CG．
連接AC交BD于O，連接FO．
由題可得F為AG中點，O為AC中點，
∴FO∥GC；
又G為PF中點，E為PD中點，
∴GE∥FD．
又GE∩GC=G，GE、GC?面GEC，
FO∩FD=F，F(xiàn)O，F(xiàn)D?面FOD．
∴面GEC∥面FOD．
∵CE?面GEC，
∴CE∥面BDF；
解：（Ⅱ）∵PA⊥面ABCD，
∴PA是三棱錐P-ABD的高，
又${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×3×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴${V}_{P-ABD}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×PA=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
同理${V}_{F-ABD}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×FA=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴${V}_{P-BDF}={V}_{P-ABD}-{V}_{F-ABD}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了棱錐體積得求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．