Question

已知函數(shù) (R)．

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí), 取得極大值為;

當(dāng)時(shí), 取得極小值為.

（2）a的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，討論駐點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號，確定極值”.

（2） 根據(jù) = ，得到△= = .

據(jù)此討論：① 若a≥1，則△≤0，

此時(shí)≥0在R上恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增 .

計(jì)算f（0），,得到結(jié)論.

② 若a＜1，則△＞0，= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為．

有．

給出當(dāng)變化時(shí)，的取值情況表.

根據(jù)f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出結(jié)論.

試題解析： （1）當(dāng)時(shí)，，

∴.

令=0, 得 . 2分

當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),, 在上單調(diào)遞增. 4分

∴ 當(dāng)時(shí), 取得極大值為;

當(dāng)時(shí), 取得極小值為. 6分

（2） ∵ = ，

∴△= = .

①若a≥1，則△≤0， 7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調(diào)遞增 .

∵f（0），,

∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)． 9分

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為．

∴．

當(dāng)變化時(shí)，的取值情況如下表：

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

11分

∵,

∴.

∴

=

.

同理.

∴

.

令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．

而當(dāng)時(shí),, 13分

故當(dāng)時(shí), 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，a的取值范圍是． 14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性及函數(shù)的圖象，分類討論思想.