Question

2．在銳角三角形ABC中，AC=8，BC=7，sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，求AB．

Answer 1

分析 由題意和正弦定理求出sinA，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A，由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式求出sinC，由正弦定理求出AB的值．

解答 解：∵AC=8，BC=7，sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，則$\frac{7}{sinA}=\frac{8}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$，
解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC是銳角三角形，∴A=$\frac{π}{3}$，
由sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$得，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{7}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sinC}$，則$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AB}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$，
解得AB=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，熟練掌握定理和公式是解題的關(guān)鍵．