Question

12．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對任意的x∈R，都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$，則不等式f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{2}$的解集為（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （0，1）
• C． （0，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，由f′（x）＜$\frac{1}{2}$，得到g′（x）小于0，得到g（x）為減函數(shù)，將所求不等式變形后，利用g（x）為減函數(shù)求出x的范圍，即為所求不等式的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴g（x）為減函數(shù)，又f（1）=1，
∴f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{2}$=$\frac{1}{2}$log₂x+$\frac{1}{2}$，
即g（log₂x）=f（log₂x）-$\frac{1}{2}$log₂x＞$\frac{1}{2}$=g（1）=f（1）-$\frac{1}{2}$=g（log₂2），
∴l(xiāng)og₂x＜log₂2，又y=log₂x為底數(shù)是2的增函數(shù)，
∴0＜x＜2，
則不等式f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{2}$的解集為（0，2）．
故選：C．

點評 此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，是一道綜合性較強的試題．