Question

8．已知P是拋物線y²=4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x-y+3=0距離的最小值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 設(shè)P（ $\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出距離，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得其最小值．

解答 解：由點(diǎn)P在拋物線y²=4x上，設(shè)P（ $\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），
利則點(diǎn)P到直線l：2x-y+3=0的距離d=$\frac{|\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}-{y}_{0}+3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|{{y}_{0}}^{2}-2{y}_{0}+6|}{2\sqrt{5}}$=$\frac{（{y}_{0}-1）^{2}+5}{2\sqrt{5}}$≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
當(dāng)y₀=2時(shí)d最小值為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
所以點(diǎn)P到直線l：x-y+10=0的距離的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式，考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其最值求解，解決本題關(guān)鍵把距離表示為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)性質(zhì)解決問題．