Question

（Ⅰ）已知向量

a

和

b

的夾角是120°，且|

a

|=2，|

b

|=5，則(2

a

-

b

)•

a

=

 

．
（Ⅱ）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=n（a_n+1-a_n），則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由向量

a

和

b

的夾角是120°，且|

a

|=2，|

b

|=5，我們可得

a

2=4，

a

•

b

=-5，將(2

a

-

b

)•

a

展開后，代入

a

2=4，

a

•

b

=-5，即可得到答案．
（Ⅱ）由a_n=n（a_n+1-a_n），則（n+1）a_n=na_n+1，即

an

n

=

an+1

n+1

，我們易得{

an

n

}為常數(shù)列，再由a₁=1，我們可得

an

n

=1，進而易求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

a

和

b

的夾角是120°，
且|

a

|=2，|

b

|=5，
∴

a

2=4，

a

•

b

=-5，
∴(2

a

-

b

)•

a

=2

a

2-

a

•

b

=8+5=13
故答案為：13
（Ⅱ）∵a_n=n（a_n+1-a_n），
∴（n+1）a_n=na_n+1，
∴

an

n

=

an+1

n+1

，
∴{

an

n

}為常數(shù)列，
又∵a₁=1，
∴

an

n

=1，
a_n=n
故答案為：n

點評：（Ⅰ）向量的數(shù)量積運算中，要熟練掌握如下性質(zhì)：

a

•

a

=

a

2=|

a

|2，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ
（Ⅱ）要求數(shù)列的通項公式，我們要根據(jù)已知條件，證明與該數(shù)列相關(guān)的數(shù)列是特殊數(shù)列（即等差數(shù)列或等比數(shù)列），進而得到該數(shù)列的通項公式．