Question

20．平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，1），B（4，-2），C（7，0）．
（1）證明：△ABC是等腰直角三角形；
（2）若E為BC的中點，試在線段AC上確定點D及確定實數(shù)t，使得$\overrightarrow{OB}$+t$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OE}$．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥BC，AB=BC，即可證明：△ABC是等腰直角三角形；
（2）由題意E（5.5，-1），∴$\overrightarrow{BE}$=（1.5，1），設D（x，y），則由t（x，y）=（1.5，1），求出AC方程，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵點A（2，1），B（4，-2），C（7，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，-3），$\overrightarrow{BC}$=（3，2），
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=2×3+（-3）×2=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$．
又|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{13}$，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：由題意E（5.5，-1），∴$\overrightarrow{BE}$=（1.5，1）．
設D（x，y），則由t（x，y）=（1.5，1），
∴x=$\frac{1.5}{t}$，y=$\frac{1}{t}$，
∵$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AD}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{AC}$=（5，-1）
∴x-5y+3=0，
∴$\frac{1.5}{t}-\frac{5}{t}+3=0$，
∴t=1.5，
∵D（1，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查三角形中的計算問題，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．