Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²（a≠0），在x=1時(shí)取得極值3，求：
（1）f（x）的表達(dá)式；
（2）f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）在x=1時(shí)取得極值3，得到關(guān)于a，b的不等式組，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx，
∵f（x）在x=1時(shí)取得極值3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b=0}\\{f（1）=a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-6，b=9，
故f（x）=-6x³+9x²；
（2）由（1）得：f′（x）=-18x²+18x=-18x（x-1），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（1，+∞）單調(diào)減；[0，1]單調(diào)增．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．