Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）對(duì)于任意的x都存在實(shí)數(shù)a，b，使得f（a+x）f（b-x）=ab，則稱f（x）為“希望函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=e

x

2

是否為“希望函數(shù)”；
（2）若函數(shù)f（x）=k•e^x（k≠0）是“希望函數(shù)”，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由新定義，只要判斷方程e

a+b

2

=e

a

2

•e

b

2

=ab有沒有實(shí)數(shù)解，可由y=e

x

2

-x的最值，通過導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，得到極值和最值，即可判斷；
（2）由新定義，可得k•e^a+x•k•e^b-x=ab，即為k²•e^a+b=ab有解，求出y=e^x-x-1的最小值，得到e^x≥x+1＞x，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，可得ab≥k²•ab，由ab＞0，解不等式即可得到k的范圍．

解答： 解：（1）由于f（a+x）f（b-x）=e

a+x

2

•e

b-x

2

=e

a+b

2

=e

a

2

•e

b

2

，
由于y=e

x

2

-x的導(dǎo)數(shù)y′=

1

2

e

x

2

-1，當(dāng)x＞2ln2時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增；
當(dāng)x＜2ln2時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減．
則函數(shù)y=e

x

2

是在x=2ln2處取得極小值，也為最小值，且為2-2ln2＞0，
即有e

x

2

＞x恒成立，則e

a

2

＞a，e

b

2

＞b，
則方程e

a+b

2

=e

a

2

•e

b

2

=ab無實(shí)數(shù)解，
故函數(shù)f（x）=e

x

2

不為“希望函數(shù)”；
（2）f（x）=k•e^x（k≠0）是“希望函數(shù)”，則
對(duì)于任意的x都存在實(shí)數(shù)a，b，使得f（a+x）f（b-x）=ab，
即為k•e^a+x•k•e^b-x=ab，即為k²•e^a+b=ab有解，
由于y=e^x-x-1的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x-1，當(dāng)x＞0時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減．
則函數(shù)y在x=0處取得極小值，也為最小值，且為0．
即有e^x≥x+1＞x，則有k²•e^ae^b≥k²•ab，
則有ab≥k²•ab，由ab＞0，即為k²≤1，
解得，-1≤k≤1．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-1，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和最值，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．