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18.如圖,四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD為梯形,AB∥CD,AB=2DC=23,AC∩BD=F.且△PAD與△ABD均為正三角形,E為AD的中點,G為△PAD重心.
(Ⅰ)求證:GF∥平面PDC;
(Ⅱ)求三棱錐G-PCD的體積.

分析 (Ⅰ)法一:連AG交PD于H,連接CH.由重心性質(zhì)推導(dǎo)出GF∥HC,由此能證明GF∥平面PDC.
法二:過G作GN∥AD,交PD于N,過F作FM∥AD,交CD于M,連接MN,推導(dǎo)出GNMF為平行四邊形,從而GF∥MN,由此能證明GF∥面PDC.
法三:過G作GK∥PD交AD于K,連接KF,GF,推導(dǎo)出平面GKF∥平面PDC,由此能證明GF∥面PDC.
(Ⅱ) 法一:由平面PAD⊥平面ABCD,△PAD與△ABD均為正三角形,E為AD的中點,由VGPCD=VFPCD=VPCDF=13×PE×SCDF,能求出三棱錐G-PCD的體積.
法二:由平面PAD⊥平面ABCD,△PAD與△ABD均為正三角形,E為AD的中點,由VGPCD=23VEPCD=VPCDE=23×13×PE×SCDE,能求出三棱錐G-PCD的體積.

解答 證明:(Ⅰ)證法一:連AG交PD于H,連接CH.
由梯形ABCD,AB∥CD,且AB=2DC,知AFFC=21
又E為AD的中點,且PG:GE=2:1,G為△PAD的重心,∴AGGH=21-------(2分)
在△AFC中,AGGH=AFFC=21,故GF∥HC.-------(4分)
又HC⊆平面PCD,GF?平面PCD,∴GF∥平面PDC.-------(6分)
證法二:過G作GN∥AD,交PD于N,過F作FM∥AD,交CD于M,連接MN,
∵E為AD的中點,且PG:GE=2:1,
G為△PAD的重心,GNED=PGPE=23,∴GN=23ED=233,
又ABCD為梯形,AB∥CD,∵CDAB=12,∴CFAF=12,-------(2分)
MFAD=13,∴MF=233,∴GN=FM,-------(4分)
又由所作GN∥AD,F(xiàn)M∥AD,得GN∥FM,∴GNMF為平行四邊形.
∴GF∥MN,∵GF?面PCD,MN?面PCD,
∴GF∥面PDC.-------(6分)
證法三:過G作GK∥PD交AD于K,連接KF,GF,
由△PAD為正三角形,E為AD的中點,且PG:GE=2:1,G為△PAD的重心,
DK=23DE,∴DK=13AD-------(2分)
又由梯形ABCD,AB∥CD,且AD=2DC,AFFC=21,即FC=13AC-------(4分)
∴在△ADC中,KF∥CD,所以平面GKF∥平面PDC
又GF⊆平面GKF,∴GF∥面PDC-------(6分)
解:(Ⅱ) 解法一:由平面PAD⊥平面ABCD,△PAD與△ABD均為正三角形,E為AD的中點
∴PE⊥AD,BE⊥AD,得PE⊥平面ABCD,且PE=3
由(Ⅰ)知GF∥平面PDC,∴VGPCD=VFPCD=VPCDF=13×PE×SCDF-------(8分)
又由梯形ABCD,AB∥CD,且AD=2DC=23,知DF=13BD=233
又△ABD為正三角形,得∠CDF=ABD=60°,∴SCDF=12×CD×DF×sinBDC=32,--(10分)
VPCDF=13×PE×SCDF=32
∴三棱錐G-PCD的體積為32.-------(12分)
解法二:由平面PAD⊥平面ABCD,△PAD與△ABD均為正三角形,E為AD的中點
∴PE⊥AD,BE⊥AD,得PE⊥平面ABCD,且PE=3
PG=23PE,∴VGPCD=23VEPCD=VPCDE=23×13×PE×SCDE-------(8分)
而又△ABD為正三角形,得∠EDC=120°,得SCDE=12×CD×DE×sinEDC=334.-----(10分)
VPCDF=23×13×PE×SCDF=23×13×3×334=32,∴三棱錐G-PCD的體積為32.----(12分)

點評 本題考查線面平行的證明,考查三棱錐的體積的求法及應(yīng)用,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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