Question

10．函數(shù)f（x）=ax³+（a-1）x²-x+2（0≤x≤1）在x=1處取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a≤0
• B． 0$≤a≤\frac{3}{5}$
• C． a≤$\frac{3}{5}$
• D． a≤1

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，通過函數(shù)的最小值是f（1），得到a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2（a-1）x-1，x∈[0，1]，
a=0時，f′（x）=-2x-1＜0，
f（x）在[0，1]遞減，f（x）_min=f（1）符合題意；
a≠0時，△=4（a²+a+1）＞0，
x₁=$\frac{1-a-\sqrt{{a}^{2}+a+1}}{3a}$，x₂=$\frac{1-a+\sqrt{{a}^{2}+a+1}}{3a}$，
a＞0時，若f（x）在x=1處取最小值，
只需x₁≤0且x₂≥1，解得：0＜a≤$\frac{3}{5}$，
a＜0時，若f（x）在x=1處取最小值，
只需x₁≥1或x₂≤0，解得：a＜0；
綜上：a≤$\frac{3}{5}$；
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．